La Ruleta Francesa
Muchos creen, hasta la fecha, que saber matemática y mecánica ayuda a ganar en los juegos de azar como los dados, los naipes y la ruleta. Si eso fuera cierto, algunos de nosotros seríamos ricos desde hacer muchos años. Pero qué va. Los hombres sabios, como Laplace, que seguramente necesitaban distraerse de vez en cuando, dar una vuelta por alguna cantina cercana, tomarse un vinito, darle un pellizco a la mesera y ¿porqué no? jugar y apostar unas monedas, descubrieron que por alguna razón la mecánica de Newton, con toda su perfección, era incapaz de predecir qué número va a salir en los dados, o en qué número caerá la pelotita de la ruleta.
El mismo Laplace, que escribió un tratado de mecánica celeste en 5 volúmenes, eacribió dos volúmenes más sobre teoría de probabilidades tratando de predecir el comportamiento de un sistema tan "simple" como un par de dados. Estas "teorías de juegos" permiten hacer estimaciones y adivinanzas educadas sobre lo que ocurre en procesos aleatorios, para los que no hay reglas.
Pero no queda claro porqué algo como la pelotita de la ruleta, que da varios rebotes en una rueda que gira, podría mostrar un comportamiento aleatorio, si los rebotes obedecen reglas conocidas. Uno supone que si se usan las leyes de la mecánica para ir analizando los rebotes uno tras otro, al final debería saber exactamente dónde va a caer la pelotita. Pero en la práctica no funciona.
Hacia finales del siglo XIX, H. Poincaré dio con la clave [1]:
El mismo Laplace, que escribió un tratado de mecánica celeste en 5 volúmenes, eacribió dos volúmenes más sobre teoría de probabilidades tratando de predecir el comportamiento de un sistema tan "simple" como un par de dados. Estas "teorías de juegos" permiten hacer estimaciones y adivinanzas educadas sobre lo que ocurre en procesos aleatorios, para los que no hay reglas.Pero no queda claro porqué algo como la pelotita de la ruleta, que da varios rebotes en una rueda que gira, podría mostrar un comportamiento aleatorio, si los rebotes obedecen reglas conocidas. Uno supone que si se usan las leyes de la mecánica para ir analizando los rebotes uno tras otro, al final debería saber exactamente dónde va a caer la pelotita. Pero en la práctica no funciona.
Hacia finales del siglo XIX, H. Poincaré dio con la clave [1]:
Una causa pequeñísima, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos dejar de ver, y entonces afirmamos que este efecto es debido al azar. Si conociésemos exactamente las leyes de la naturaleza y la situación del universo en el instante inicial, podríamos predecir la situación de este mismo universo en un instante posterior.H. Poincaré
Pero esto significa, ni más ni menos, que en un mundo lleno de causas pequeñísimas, indetectables, habrá cosas que la mecánica de Newton no podrá predecir, puesto que el que con el tiempo estas causas crecerán y echar
án a perder las predicciones.
Uno se equivoca, por ejemplo, en una décima de milímetro al medir de dónde sale la pelotita de la ruleta y hace sus cálculos para saber en qué casilla va a caer. Pero la diferencia entre la trayectoria real y la que uno ha calculado se hace cada vez más grande, y si cuando la pelotita se detiene es de unos cuantos centímetros, uno pierde miserablemente el dinero apostado [1].
La diferencia en la causa es imperceptible, y la diferencia en el efecto es para mí de la mayor importancia, porque en él va toda mi apuesta.¿Y si la diferencia inicial fuera más pequeña, de una centésima o una milésima de milímetro? De todos modos crecerá, y para un tiempo suficientemente largo, no será posible predecir la casilla ganadora, a pesar de que las leyes que gobiernan los rebotes de la pelotita sean conocidas.H. Poincaré
Es posible hacer "buenas" predicciones sólo si el tiempo no es muy largo. Por ejemplo, si uno pone la pelotita justamente encima de la celda a la que ha apostado, y la suelta, puede confiar en su predicción: la canica caerá en la celda predicha, pero como la ruleta da tantas vueltas antes de que la pelotita se detenga, pasa mucho tiempo, la incertidumbre crece, y la predicción falla.
Lo que Poincaré descubrió es lo que hoy llamamos caos. En los sistemas caóticos la capacidad de predicción es limitada: las pequeñas incertidumbres se vuelven grandes con el paso del tiempo. La diferencia entre lo que uno predice y lo que sucede en la realidad se hace tan grande que la predicción no tiene utilidad.
Si la incertidumbre inicial no existiera, si fuera exactamente cero, el sueño del determinismo laplaciano podría realizarse, por lo menos para una mente superior.e
Tres es Multitud
Convencido de que no era fácil ganar plata apostando en la ruleta, Poincaré andaba tratando de ganarse un premio que el Rey Oscar II de Suecia y Noruega había ofrecido rn 1885 a quien demostrara la estabilidad del Sistema Solar, cuando descubrió que, en el movimiento de planetas, como en la ruleta, una pequeñísima incertidumbre inicial podía crecer hasta que la predicción resultara imposible. Buscando el cofre se topó con la mano del muerto.
Los físicos estudiamos la realidad a través de modelos simplificados. Empezamos por el más simple, y luego se le van añadiendo detalles hasta llegar a un modelo que se parezca, de alguna manera, a la realidad. El modelo más simple de la mecánica celeste sólo toma en cuenta el Sol y un planeta, y fue resuelto por Newton. En modelos más realistas se agrega un tercer cuerpo, y un cuarto, y un quinto... hasta llegar a algo más parecido al Sistema Solar.
Pero no hay que hacer demasiado para llegar al problema más célebre de la mecánica celeste: predecir el movimiento de tres cuerpos sometidos únicamente a su atracción gravitacional mutua, para cualquier configuración inicial y tiempos arbitrariamente largos. Resolverlo era el paso lógico para estudiar, por ejemplo, el movimieno de la Tierra y la Luna en el campo gravitacional del Sol. Esto permitiría conocer de antemano las fechas en que habría Luna llena, el problema original de Copérnico, por el que sugirió el modelo heliocéntrico del Sistema Solar.
Por sorprendente que parezca, las mentes más brillantes de los siglos XVII, XVIII y XIX no lograron encontrar la solución general del problema de tres cuerpos, ni siquiera en el caso restringido, cuando uno de los cuerpos es muchísimo más pequeño que los otros (por ejemplo, un satélite navegando entre la Tierra y la Luna, o un asteroide en el campo producido por el Sol y Júpiter).
Poincaré tampoco pudo, pero alcanzó a ver que este sistema compartía con la ruleta la exagerada sensibilidad a las incertidumbres iniciales, lo que hoy llamamos caos. Quién sabe porqué no avanzó más en el estudio de la incertidumbre. Quizá porque no era lo que buscaba, a fin de cuentas desde la época de Pitágoras hemos buscado el orden universal, y no el caos; o quizá lo hubiera hecho si hubiera tenido una computadora.
¿Es posible que el Sistema Solar, que desde siempre se ha considerado el paradigma del orden y la regularidad, sea en realidad un sistema caótico?
No se pierda la tercera parte!
Referencias
[1] Poincaré, H., El Azar, en Sigma, el Mundo de las Matamáticas, J.R. Newman (compilador), Ediciones Grijalbo, S.A., Barcelona, 1976, Vol. 3, pp. 68-82.
